L'équation d'un problème 

Pour résoudre les problèmes à l'aide de l'algèbre, on utilise les équations. 

I- Une pointe de terre a la forme d'un triangle dont le périmètre a 101 mètres. Le deuxième côté mesure 3 mètres de moins que le premier et le troisième 8 mètres de plus que le deuxième. Trouvez les trois côtés de ce triangle. 

Dans ce triangle, le 1er côté + le 2e côté + le 3e côté = le périmètre.

Prendre note que les deux chiffres 3 ont été changés pour deux 5.

 

Si l'on connaissait le premier côté, on n'aurait qu'à lui soustraire 5 pieds pour trouver le deuxième; connaissant le deuxième, il suffirait de lui additionner 8 pieds pour trouver le troisième côté

 Comme on ne connaît pas la longueur du premier côté, on exprime sa valeur par x; la longueur du deuxième côté devient x-5; la longueur du troisième côté sera exprimée par celle du deuxième augmentée de 8 ou x - 5 + 8 = 100 m

 

L'écriture x + x - 5 + x - 5 + 8 = 100 se nomme équation

3x - 10 + 8 = 100 =3x = 100 + 10 - 8

3x = 102 =102 / 3 x = 34

1er côté = 34

 2e côté = x - 5 = 34 - 5 = 29 

3e côté = 29 + 8 = 37 

II- Il y 5 ans, un homme avait 32 ans.  Quel est l'âge actuel de cet homme. 

L'âge de cet homme - 5 ans = 32 ans                     Age de l'homme - 5 = 32

 Appelons x l'âge de l'homme. Le problème se résume ainsi:               x - 5 = 32                                x = 37                     Actuellement, l'homme a 37 ans.

L'écriture x - 5 = 32 est une équation. Dans cette équation, la lettre x représente une quantité inconnue (l'âge), dont il faut chercher la valeur; x - 5, la partie de l'équation posée à gauche du signe =, est le membre de gauche de l'équation, 32 en est le membre de droite.

Les deux membres étant réunis par le signe = doivent, par conséquent, avoir la même valeur.

Résolution de l'équation                                                   1er principe

Ainsi, puisque dans une équation les deux membres ont la même valeur, on peut additionner ou soustraire la même quantité à chacun d'eux sans briser l'égalité.

Si             x - 5 = 32

 en ajoutant 5 aux deux membres de l'équation, on a:            x - 5 + 5 = 32 + 5                   x + 0 = 37                               x = 37 

Faisons la preuve:               37 - 5 = 32 

Autre exemple: soit l'équation :        x - 4 = 23                                x - 4 + 4 = 23 + 4                   x + 0 = 27               x = 27

Faisons la preuve:               27 - 4 = 23 

Exemple :             Dans 8 ans, l'âge d'un homme sera 43 ans. Quel est l'âge actuel de cet homme ?

 Age actuel de cet homme + 8 = 43 ans 

Soit x l'âge actuel de cet homme; alors on peut poser:          x + 8 = 43               x + 8 - 8 = 43 - 8                    x + 0 = 35               x = 35

Preuve: l'âge de l'homme (35 ans) augmenté de 8 ans donne 43 ans, ou 35 + 8 = 43 

On peut prendre un terme dans un membre de l'équation et le transporter dans l'autre membre à condition de changer de signe. 

1- x + 13 = 19                        x = 19 - 13                              x = 6 

Preuve:                  6 + 13 = 19

2- 49 = x - 23                         49 + 23 = x                             72 = x 

Preuve:                  49 = 72 - 23

Un nombre diminué de 9 donne 15. Trouvez ce nombre. 

Raisonnement:                    On écrit d'abord: le nombre cherché - 9 = 15                        x - 9 = 15                x = 24

Preuve:                  Il faut toujours faire la preuve dans la donnée:

Un nombre 24 diminué de 9 donne bien 15 ou 24 - 9 = 24   

 

Exemples:                           1- Si Pierre avait 15 ans de plus, il aurait 31 ans. Quel est son âge actuel ?

 Age actuel de Pierre + 15 = 31             x + 15 = 31                             x = 16     

Preuve:                  16 + 15 = 3

2- Un héritage diminué de 15 000$ vaut encore 88 000$. À combien s'élevait cet héritage ?

 

Héritage - 15 000$ = 88 000$                               x - 15000$ = 88 000$                            x = 103 000$  

Preuve: 103 000$ - 15 000$ = 88 000$

  2e principe 

Dans une équation, on peut diviser les deux membres par une même quantité (différente de zéro) sans rompre l'égalité.

 

Exemple I                             Le triple d'un nombre égale 54. Quel est ce nombre ?

 3 fois le nombre demandé = 54 

soit x le nombre demandé 

3 fois x = 54                           3x = 54

 On divise les deux membres de l'équation par 3:                                 3x = 54

X =         54                            x = 18

3 

Preuve: Le triple de 18 donne bien 54.

 Exemples:     François dit: "Si je triplais mon avoir, j'aurais 78$." Combien François possède-t-il ? 

Mon avoir x 3 = 78$                             

3x = 78$ 

3x = 78$

___ ___

3 3 

x = 26 

3x = 9

__ __

3 3

 x = 3

 

 

Le double de mon âge augmenté de 2 ans est égal au triple de mon âge diminué de 14 ans. Quel est mon âge ?

Mon âge + 2 = 3 x mon âge - 14

x + 2 = 3x - 14

14 + 2 = 3x - x 

16 = 2x 

16 = 2x

__ __

2 2

8 = x 

Preuve:                  8 + 2 = 3 x 8 - 14 

10 = 24 - 14 

10 = 10

 3e Principe :    On peut multiplier les deux membres d'une équation par la même quantité (différente de zéro) sans briser l'égalité.

 

Exemple I  Si la moitié de x égale 18, on peut poser

x / 2 = 18 

Multiplions les deux membres par 2, nous obtenons:                          2 x / 2 = 2 x 18                        x = 36

 

Preuve:

                           36                                = 18

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