Mémoire
I.U.F.M.
La mise en équation :
une activité non maîtrisée
par lesélèves de seconde.
Quelles solutions apporter
?
I / GÉNÉRALITÉS SUR LA
MISE EN ÉQUATION(S)
.Le
programme
.Quels sont les outils mis à la disposition des enseignants face à la
mise en équation(s) dans les manuels
II / PREMIÈRE
EXPÉRIMENTATION ET REGARD SUR LA SÉANCE
.Critères
de choix des exercices
.Mise
en place de la séance
.Analyse
a priori de cette séance
III / QUELLES SOLUTIONS
APPORTER AUX PROBLÈMES DÉTECTÉS
.Construction
d’une séance d’enseignement
.Déroulement
de la séance d’enseignement
.Analyse
de la séance d’enseignement
IV / CONCLUSION
.Exercice
1 à 6
La mise en équation(s) des données d’un problème est une
activité qui se révèle difficile pour les élèves
de seconde. En effet, lors d’une séance de module
comportant des équations à résoudre et des problèmes à mettre en équation, il
s’est avéré que les algorithmes de résolution d’une équation à une inconnue du
1 er degré
étaient bien maîtrisés, mais que le passage du texte de l’énoncé à l’écriture
des équations était souvent impossible à trouver ou à effectuer correctement.
Une expérience identique sur un devoir à la maison où l’élève était censé avoir
plus de temps de réflexion, m’a mené à une conclusion identique : la mise en
équation(s) reste une activité difficile pour une majorité d’élèves. Ainsi
seulement 12 élèves sur 22 dans une classe de 3 ème
réussissent la mise en équation(s) dans le problème suivant
:
Une fermière vend 7 poulets et 11 canards pour 824 F.
Chaque canard vaut 16 F de plus qu’un poulet. Pour trouver le prix d’un canard,
Jean désigne par c le prix d’un canard, il écrit une équation et il la résout.
Fais le travail de Jean ( écris une équation et résous-la pour trouver le prix
d’un canard.)
I / GÉNÉRALITÉS SUR LA MISE EN ÉQUATION(S) Le programme
·) Collège :
La mise en équation(s) doit être
préparée dès la classe de sixième :
Equation du type 23 * €= 471,5 ou
2,05 : € = 8,2
A ce niveau, il est recommandé de
ne pas désigner par une lettre le nombre manquant. Cependant, à propos de
l’initiation au calcul littéral, les textes officiels précisent : “ Il s’agit, dans des situations concrètes, de schématiser
un calcul ( périmètre, aire, …) en utilisant des lettres qui, à chaque usage,
seront remplacées par des valeurs numériques. ”
En cinquième, les équations
numériques du type “ a + x = b ” et “ ax = b , (a ¹0) ” sont explicitement au
programme. Les compléments de programme
précisent : “ Il convient de ne pas multiplier
les exercices de résolution d’équations numériques données a priori ”. Mais
l’élève doit savoir : “ mettre en équation un
problème dont la résolution conduit à une équation à coefficients numériques de
l’un des types précédents ”.
L’objectif poursuivi est donc
essentiellement la mise en équation(s) plus que l’acquisition des techniques de
résolution des équations.
En classe de 4 ème , le programme parle de :
“ la résolution de problèmes
aboutissant à des équations, à des inéquations du 1 er degré à une inconnue ”. Il est précisé que : “ on
dégagera, sur des exemples étudiés, les différentes étapes du travail : mise en
équation(s), résolution et interprétation des résultats. ”
Ce n’est qu’en classe de 3 ème que les équations du 1 er degré et les systèmes de 2
équations du 1 er degré
à 2 inconnues à coefficients numériques sont explicitement au programme. Il
s’agit donc bien, en fin de collège de savoir résoudre les équations. Il est
précisé, du reste, dans les compléments que “ l’entraînement au calcul littéral
se poursuit et doit aboutir à une relative autonomie ” alors qu’en classe de 4 ème le calcul littéral devait
être “ introduit avec prudence ”. Néanmoins en 4 ème
comme en 3 ème les compléments du programme précisent que : “ la résolution de problèmes issus de la géométrie, de la
gestion des données, des autres disciplines, de la vie courante… ”. Ceci constitue l’objectif fondamental de cette partie du
programme.
·) Lycée
La classe de seconde est en
quelque sorte une classe de liaison entre le collège et le lycée. Pour une
bonne articulation entre le collège et la seconde, les programmes visent à
consolider les connaissances des élèves sur la résolution de problèmes et
amener l’élève à utiliser la mise en équation(s) dans des domaines différents.
En effet les programmes précisent que : “ Les
activités de résolutions de problèmes fourniront un champ de fonctionnement
pour les capacités acquises au collège et, en cas de besoin, de consolider ces
acquis ”. Il est donc important de tester
les connaissances des élèves face à ces activités et de leur apporter un
maximum d’approfondissement sur le sujet. De plus, à travers les trois années
de lycée, aussi bien en seconde qu’en première ou qu’en terminale, le
programme, en ce qui concerne la mise en équation(s), est clair et reste un
objectif important. Deux mêmes phrases reviennent sans cesse : “ La résolution de problèmes, issus de la géométrie, de
l’étude des fonctions, de la gestion des données, des autres disciplines et de
la vie courante, constitue l’objectif fondamental de cette partie du programme.
On dégagera sur des exemples étudiés les différentes phases du traitement d’un
problème : mise en équation(s), résolution, contrôle et exploitation des
résultats ”. Dans cette perspective, il
convient de répartir les activités de mise en équation(s) tout au long de
l’année et dans des domaines différents.
Quels sont les outils mis à la disposition des
enseignants face à la mise en équation(s) dans les manuels de seconde
Le problème auquel l’enseignant se trouve confronté
lorsqu’il donne des problèmes de mise en équation(s) est de savoir comment
apprendre aux élèves à écrire l’équation à l’aide de l’énoncé ou tout au moins,
à ne pas rester complètement désorienté devant l’énoncé. La mise en équation(s)
est un travail marginal et difficile, et c’est sans doute pour cette raison que
peu de manuels ne donnent de méthode de la mise en équation(s) proprement dite.
Pour répondre à ce problème, quelques manuels de seconde proposent maintenant
un “ plan de travail ” censé aider les élèves. Il comporte le plus souvent 4
étapes :
-
Le choix de l’inconnue ou des
inconnues
-
La mise en équation(s)
-
La résolution de l’équation ou
des équations
-
L’interprétation des résultats et
la rédaction de la solution
Critères de choix des exercices
Il faut bien sûr que les énoncés puissent se traduire sous
forme d’une équation , d’un système d’équations que doit satisfaire la ou les
inconnues. J’ai volontairement écarté le cas des inéquations ou des systèmes
d’inéquations car la seule différence qui existe avec les équations ou les
systèmes d’équations se situe au niveau du signe “ < ” ou “ > ”. La difficulté
de savoir si l’on mets “ < ” ou “ > ” ne fait pas partie des objectifs de
ce mémoire. Toute situation
invraisemblable a été volontairement écartée ou modifiée afin que l’exercice
relate une situation réelle facilitant ainsi la compréhension du texte.
Certains exercices comme les exercices 1, 3, 5 et 6 (
annexe 2 ) ne peuvent pas être résolus par l’arithmétique pratique mais
nécessite l’utilisation de la mise en équation(s) pour résoudre le problème.
D’autres, comme l’exercice 2 ( annexe 2 ) vont laisser l’impression d’une
réponse immédiate mais qui se révèle fausse une fois l’équation posée et
résolue. L’ exercice 6 ( annexe 2 ) va avoir un aspect motivant de part son
résultat surprenant. Bref, des exercices qui montrent aux élèves que la mise en
équation(s) est un outil utile et rapide pour résoudre certains problèmes.
Enfin une petite analyse de plusieurs énoncés de problèmes
m’a permis de voir que tous n’étaient pas
équivalents ; en effet, l’analyse du passage de l’énoncé à
l’écriture des équations portent sur deux points :
. L’identification des quantités
inconnues décrites ou désignées dans l’énoncé et,
. la conversion de leur
expression linguistique en une expression algébrique.
Très souvent les problèmes de mise en
équation(s)n’utilisent qu’ une ou deux lettres désignant la ou les inconnues
alors que les quantités inconnues sont en nombre plus important.
Deux cas peuvent alors se présenter :
A)
Le cas de transparence
: l’identification des quantités inconnues coïncide avec le choix des inconnues.
L’énoncé exprime les quantités inconnues à l’aide d’ une ou
deux dénominations de base suivant qu’on ait une équation ou un système de deux
équations à trouver. Alors la conversion des expressions linguistes en
expressions algébriques est immédiate.
B)
Le cas d’opacité :
l’énoncé exprime les quantités inconnues en recourant à plus de dénominations
de base que dans le cas de transparence. Alors un travail de redésignation des
quantités inconnues est nécessaire pour passer aux expressions algébriques.
.L’identification des relations d’égalité permettant
l’écriture des équations. Deux cas possibles :
A) Le cas de marquage explicite
des relations : la phrase de l’énoncé peut se transcrire immédiatement en une
équation.
B) Le cas de marquage
semi-implicite ou entièrement implicite des relations : l’énoncé ne donne pas
explicitement ou masque les relations entre les quantités inconnues.
Ces différents cas peuvent être récapitulés dans le tableau
suivant :
|
|
Cas de transparence |
Cas d’opacité |
|
Marquage des relations explicites et conversion immédiate |
Exercice de type : A1 Exercices 1 et 2 ( Annexe 2 ) |
Exercice de type :. B1 Exercice 4 et 5 ( Annexe 2 ) |
|
Marquage des relations partiellement implicites ou
complètement implicites |
Exercice de type : A2 Exercice 3 ( Annexe 2 ) |
Exercice de type : B2 Exercice 6 ( Annexe 2 ) |
Mise en place de la séance
La séance est prévue en module. La classe est divisée en
deux groupes de 14 et 15 élèves pour une durée d’une heure et trente minutes
par groupe. Le module est une séance particulièrement bien adaptée pour des
travaux de recherche de part sa durée et du fait du petit nombre d’élèves
présents. Chaque élève se verra distribuer une feuille de 6 exercices traitant
de problèmes sur la mise en équation(s) (voir annexe 2 ). Les consignes de
travail, écrites au tableau, seront les suivantes : Chaque élève aura besoin de 2 feuilles. Une première qui jouera
le rôle de brouillon que le professeur
ramassera à la fin du module afin de voir et de comprendre
les pistes empruntées et les erreurs rencontrées par les élèves. Sur cette
feuille l’élève ne devra pas utiliser d’effaceur, il pourra barrer ce qui lui
semble faux ou inutile, il écrira tout ce qu’il lui semble utile à la
résolution du problème : équations, inconnues mais aussi graphiques, dessins
pouvant illustrer le problème. La deuxième feuille fera office de propre. Sur
cette feuille sera rédigée une solution détaillée et correcte.
La séance est découpée de la manière suivante :
- 1 er étape : Première phase de recherche au brouillon sur les
exercices 1, 2 et 3 qui devrait durer environ 20 minutes. On demande uniquement d’écrire la ou les équations qui
permettront de répondre à la question de l’exercice en précisant bien les inconnues
choisies, la résolution de l’équation ou du système d’équations n’est pas
demandée. En effet le but de la séance est de réfléchir sur la mise en
équation(s) et non pas sur les méthodes de résolution. Recherche individuelle,
pas de communication pour le moment entre les élèves.
- 2 e étape : Mise en commun des résultats des 3 exercices au
tableau. Le professeur rédigera au tableau une solution complète proposée par
un ou plusieurs élèves. Il fera apparaître au maximum le passage du langage
habituel au langage algébrique. Il gèrera le dialogue entre les élèves sur les
difficultés rencontrées ou sur les différentes solutions proposées.
- 3 e étape : Avec ses premières explications et ces premiers
conseils, les élèves reprendront une phase de recherche individuelle sur les
exercices 3 à 6..11
- 4 e étape : Une deuxième mise
en commun sera faite avec les mêmes objectifs que la première. Enfin le
professeur ramassera les brouillons de chaque élève comme il l’avait annoncé au
début de la séance.
Analyse a priori de cette séance
Un des objectifs de cette première séance sur la mise en
équation(s) est de repérer le niveau, les difficultés et les erreurs que
rencontrent les élèves lors de la résolution d’un problème de mise en
équation(s). Cette séance a été construite de telle façon que chaque élève
puisse être en activité et en phase de recherche sur des exercices. L’accent
n’étant pas mis sur le résultat mais sur le raisonnement, chaque élève aura
l’opportunité d’écrire ce qu’il croit être juste sans se voir immédiatement
découragé par un résultat non identique à celui du professeur.
La mise en commun aura pour but de donner évidemment la
solution au problème mais surtout de laisser la possibilité aux élèves de
s’exprimer sur les recherches qu’ils ont entreprises sur les exercices. Les
erreurs de certains seront alors soulevées et corrigées par d’autres élèves si
c’est possible. En ce qui concerne les exercices proprement dit, les élèves
n’ayant eu comme enseignement qu’un entraînement de type classique ( choix de
l’inconnue, mise en équation(s), résolution et interprétation du résultat), le
passage aux équations devrait être direct dans le cas du problème de type A1,
causer des difficultés à certains élèves dans le cas de type A2 car même si le
problème ne figure pas au niveau du choix des inconnues, beaucoup d’élèves se
heurteront à des difficultés liées aux relations semi-implicites ou implicites.
Pour les problèmes de type B, le passage aux équations va
sans doute être difficile pour la plupart des
élèves puisque le choix des inconnues n’est plus aussi évident que dans
les cas de type A1 et A2. On attend
vraisemblablement de la part des élèves un détour par une ou plusieurs
représentations intermédiaires.
Déroulement et analyse a posteriori de la séance
Analyse
de l’exercice 1 ( de type A1) :
Cet exercice est un cas de transparence et de relations
explicites. L’énoncé exprime les quatre quantités inconnues : “ prix de deux cafés ”, “ prix de trois bières ”, “
prix de trois cafés ” et “ prix de deux bières ” en fonction de deux inconnues de base, à savoir “ le prix d’un café
” et “ le prix d’une bière ” qui sont les deux inconnues cherchées. La
conversion est donc immédiate. En désignant x et y les deux inconnues de base,
les quatre quantités inconnues s’écriront respectivement : 2x, 3y, 3x et 2y.
Les mots “ et ” et “ font ” dans les phrases “ trois cafés et deux bières font … ” et “ deux cafés et trois bières font … ” sont les expressions
pertinentes pour l’écriture de l’équation. Mais ce qui rend l’identification
des relations bien explicites, c’est que, d’une part, on a une phrase par
équation et ,d’autre part, l’organisation syntaxique de la phrase peut-être
mise en correspondance terme à terme avec l’organisation de l’équation. Parmi
les élèves des deux groupes, aucun problème sur la mise en équation(s) n’a été
relevé dans cet exercice, tous les élèves ont su poser le système correctement.
Par contre les inconnues ont souvent été posées de façon incorrecte.
Bons nombres d’élèves ont écrit : “ soit x le café et y la
bière ” au lieu d’écrire “ x le prix d’un café et y le prix d’une bière ” .
Cette erreur de langage est en fait ce que Kourkoulos appelle un “ défaut de coefficient de proportionnalité référentielle ”. Il y a défaut de coefficient de proportionnalité
référentielle quand l’unité et la quantité qui lui correspond sont représentées
par le même symbole. Cette erreur d’identification n’empêche pas d’arriver à la
mise en équation(s) correcte du problème car dans cet exercice on considère un
seul aspect des inconnues, à savoir le prix du café ou de la bière. S’il avait
fallu considérer le prix et le nombre de cafés, alors ce défaut de
représentation aurait entraîné une mauvaise écriture de certaines équations
comme nous le verrons dans l’exercice 4 un peu plus tard.
Analyse
de l’exercice 2 - Cet exercice de type A1, comme le
précédent, a déclenché des réponses immédiates de la part de certains élèves. “
C’est facile, le poids du bouchon est de 10 g ” dit Eric. Je leur affirme que
non, sans expliquer pourquoi, et leur demande de trouver une ou deux équations
permettant de résoudre le problème. Aucun élève ne m’a écrit une équation, tous
avaient posé deux inconnues et pour la plus part le système fut correctement
écrit,
mais je vis tout de même cela :
110 * 100
110
x
y * x donc x = 10
La phrase “ la bouteille pèse 100 g de plus que le bouchon
” n’a pas du tout été comprise ou a été lue beaucoup trop vite !
Analyse de l’exercice 3
Cet énoncé de type A2 rentre dans le cas transparent pour
l’identification des objets. En effet les quatre quantités inconnues sont
faciles à déterminer : “ le temps de vidange des voitures ”, “ le temps de
changement des carburateurs de scooter ”, “ le prix des vidanges des voitures ”
et “ le prix des changements de carburateur de scooters ” en fonction des deux
inconnues de base “ le nombre de vidanges ” et “ le nombre de carburateurs
changés ” qui correspondent aux deux quantités cherchées.
En revanche, les relations nécessaires pour écrire les
équations ne sont pas toutes marquées explicitement. Cette fois-ci, une phrase
ne correspond plus à une équation. Il faut dégager les informations des deux
phrases, afin d' obtenir les quatre quantités inconnues et additionner les deux
quantités qui correspondent au temps et les deux quantités qui correspondent au
prix. Les relations qui permettent d’écrire les équations sont semi-implicites.
La conversion est possible seulement si l’élève a pris
conscience que “ Le temps mis pour vidanger x voitures + le temps mis pour
changer y carburateurs = 450 minutes ” et que “ le prix de x vidanges + le prix
de y, changements de carburateur = 675
francs ”. Si pour la plupart des élèves le choix des inconnues était facile à
trouver, l’écriture des équations ne l’a pas été pour tous. En effet, certains
élèves sont restés complètement bloqués face à cet exercice. Une dizaine ont
persévéré mais sont arrivés à des équations fausses.
Voici quelques exemples d’erreurs retrouvées chez ces
élèves:
·) Comme dans l’exercice 1, on retrouve le défaut de coefficient de proportionnalité. Ces élèves représentent
l’unité et la quantité par le même symbole. Ils écrivent “
soit x la vidange et y le changement de carburateur ” au lieu de considérer le
nombre de vidanges et le nombre de changements de carburateur.
·) Une des raisons pour lesquelles certains élèves ont
écrit des équations fausses a été la conversion des heures en minutes. David
obtient par exemple comme 1 ère équation 1,3x + 0,45y = 7,3 , il convertit donc 1h30 en 1,3
et 45 min en 0,45. Bref pour lui, 1heure est égale à 100 min au lieu de 60 min.
Un petit entretien avec cet élève sur les heures, les minutes et les secondes
lui a vite permis de voir et de comprendre son erreur.
·) Sur le brouillon de beaucoup d’élèves, j’ai pu relever
certaines égalités qui souvent représentaient des
correspondances. Par exemple Valentine écrit :
“ 7h30 = vidanges + carburateurs = 675 F x = 90 min = 125 F et y = 45 min =
75 F ”
Grégory et Cyril ont écrit :
“ 450 min = 675 F total gagné 90 min = 125 F total pour 1 vidange
45 min = 75 F total pour 1 carburateur ”
Mais aucun ne va jusqu’au défaut
d’égalité de correspondance qui serait de ne prendre
en compte que les objets de référence que le texte met en correspondance pour
écrire l’équation. L’égalité écrite signifie seulement une correspondance. Un
élève ayant ce défaut écrirait : 90x + 125y = 450 ou 45x + 75y = 675. Valentine a bien compris qu’on ne peut
additionner des objets ayant 2 dimensions différentes. Ce qui a sans doute
permis à Valentine d’écrire le système correctement, c’est que 7h30 = temps des
vidanges + temps consacré aux
carburateurs et 675 F = prix pour les vidanges + prix pour les changements des
carburateurs. Quant à Grégory et Cyril,
on a l’impression qu’il ont rangés leurs informations un peu comme dans un
tableau
450 675 Total
90 125 Pour 1 vidange
45 75 Pour 1
carburateur
Du coup une lecture verticale permet de trouver les
relations semi-implicites et d’écrire les équations du système.
Toujours sur ce même exercice , Nicolas a représenté ses correspondances
encore d’une autre manière. Il a écrit : 1h30 125 F 45 min 75
F (voiture)
(scooter) 7h30 675 F
Son système de flèches montre bien qu’il est conscient
qu’il devra additionner les deux temps pour obtenir le
temps total et additionner les deux prix pour obtenir la
somme gagnée..15
·) Thomas est un élève particulièrement intéressant car il
semble qu’il présente plusieurs défauts de représentation. Voici ce que Thomas
a écrit :
x = le nombre de temps
y = le prix payé 75
125
y 45x
y 90x
En analysant ces équations, il semblerait que Thomas essaie
de faire correspondre la 2 ème phrase de
l’énoncé à une équation. Cette erreur semble se rapprocher
du défaut d’égalité de correspondance que j’ai déjà évoqué pour Valentine, Grégory et Cyril.
Cette erreur pourrait aussi être le défaut
de somme référentielle c’est à dire que le seul
aspect pris en compte par l’élève pour effectuer une somme est celui des
différents objets désignés dans le texte, en négligeant la dimension sémantique
dont ces objets relèvent. Une somme non homogène est alors effectuée. En effet
Thomas additionne une quantité représentant le temps avec une quantité
représentant un prix pour obtenir une quantité représentant un temps.
On pourrait également diagnostiquer le défaut de la variable indicée, c’est à dire que le bloc ax, ici 90x,
représente une correspondance et non pas une
multiplication. Dans le même ordre d’idée 90x pourrait être aussi le défaut de bloc référentiel de forme multiplicative, c’est à dire que l’élève utilise le bloc ax sans en
comprendre précisément la signification, seul l’aspect référentiel est pris en
compte. Pierre pourrait également être un candidat pour ce genre d’erreurs
puisqu’il écrit 125x et x = le prix.
Mise
en commun des exercices 1, 2 et 3 :
En ce qui concerne l’exercice 1, la mise en commun fut très
rapide puisque tous les élèves avaient
trouvé le bon système. Un accent fut tout de même mis sur le choix de
l’inconnue à savoir qu’il faut désigner
précisément ce que représente l’inconnue. Par exemple “ soit x le prix
de la bière ” et non “ soit x la bière ”.
En ce qui concerne l’exercice 2, le système est très vite
apparu au tableau, mais il a fallu le résoudre pour enlever tout doute aux
élèves qui pensaient toujours que le poids du bouchon était 10g. Certains
élèves faibles avaient préféré chercher la solution en tâtonnant plutôt que
d’écrire des équations. L’exercice n’aura pas eu grand intérêt pour eux. Pour
l’exercice 3, la même remarque qu’à l’exercice 1 fut faite et le système apparut
rapidement grâce au tableau remanié de Grégory.
Analyse
de l’exercice 4 ( de type B1) :
Cet énoncé est de type B1, car il est opaque à la réduction
des quantités inconnues en deux inconnues
de base. Les relations sont explicites. Il y a quatre quantités
inconnues : “ un nombre de deux chiffres ” ( le nombre cherché ), “ le 1 er chiffre ”, “ le 2 ème chiffre ” et “ le nombre
obtenu en permutant les deux chiffres ”.
Une relation d’égalité est explicite à savoir “ la somme de
ces deux chiffres est égale à 12 ” et c’est cette relation qui a mis tous les
élèves de la classe sur la piste des deux dénominations de base à choisir.
Pratiquement tous les élèves ont posé “ soit x le 1 er chiffre et y le 2 ème chiffre alors x + y = 12
”.
Par contre, la suite a été nettement moins facile pour eux.
En fait, un bon tiers de la classe a abandonné
à ce niveau là, les deux tiers restant sont restés bloqués, ne pouvant
répondre à une question “ comment écrire le nombre à l’aide de x et y ? ”. Seul
Sébastien a réussi à voir sans aide que le nombre pouvait s’écrire 10x + y. Les
autres ont souvent écrit que le nombre était la juxtaposition des deux
chiffres, c’est à dire xy.
Ainsi David a obtenu le système suivant :
18
12
xy yx
y x
Mathieu et Nicolas ont considéré que x + y était le nombre
et ont donc obtenu ( x + y) – ( y + x) = 18 comme équation puisque y + x
devenait le nombre permuté. Ces deux
exemples montrent bien que les relations d’égalité sont explicites mais que le
choix des deux inconnues de base
n’entraîne pas forcément une écriture des quantités inconnues. Enfin certains
élèves confondaient le chiffre et le
nombre et du coup le problème leur semblait impossible.
Analyse de l’exercice 5
Cet exercice de type B1 comme le précédent permet de voir
que les énoncés peuvent être opaques pour
l’identification des objets et explicites pour l’identification des
relations. Ces deux facteurs totalement
indépendants pour la
compréhension et la conversion des énoncés mettent pourtant les élèves
en difficulté dès que l’un des deux se complique. En effet, bien que les
relations d’égalité soient explicites “ le parcours a duré 270 secondes ” et “
la montée est de 126m plus longue que la descente ”, peu d’élèves arrivèrent à
un système correct.
Vincent a écrit :
x= la montée
y = la descente
126
270
y x
y x
Il y a défaut de variable
référentielle. Le seul aspect pris en compte
pour le choix d’une inconnue est une action
articulière ou une situation concrète. Il n’y a pas de distinction entre
inconnues qu’on note x et y et quantités inconnues. En effet “ la montée ”, “
la durée de la montée ” et “ la longueur de la montée ” sont des expressions
qui désignent trois choses très différentes. Il en résulte un emploi équivoque
de x dans les deux équations pour désigner l’une “ la durée de la montée ” et
dans l’autre “ la longueur de la montée ”.
Jonathan et Mathieu ont écrit :
montée y
descente x
distance
270
126
21x 15y
y x
En interrogeant les élèves, j’ai su que 15y représentait le
temps mis pour monter et 21x le temps mis
pour descendre. Ce qui est bien sûr faux . La relation vitesse / temps = distance ne semble
pas connu. Jeremy n’a su que dessiner ceci :
15 21
270 s
+126 m.17
En l’interrogeant, j’appris qu’il aurait aimé représenter
les informations de l’énoncé mais que le moyen exact lui manquait.
Hervé, lui, a proposé un tout autre choix d’inconnues :
t = temps de la montée
d = distance de la montée
d
d t
=15t +126
270 21
Analyse de l’exercice 6
L’exercice n’a pas été abordé par manque de temps.
Mise en commun des exercices 4 et 5 : La discussion sur l’exercice 4 fut beaucoup plus
intéressante puisqu’une seule personne détenait la réponse et ne l’avait pas
communiquée. A la question “ comment doit-on écrire le nombre à l’aide de x et
y ”, certains élèves ont répondu : xy.
Mais heureusement, beaucoup sont restés septiques face à cette écriture et
Valentine, qui n’avait pas trouvé de solution, a fait
remarquer à toute la classe , lors de la mise en commun, que xy signifie x
multiplié par y et non le nombre cherché.
C’est alors que Sébastien est intervenu en expliquant que,
par exemple 54 pouvait aussi s’écrire 5´10 + 4. Et après avoir distingué le chiffre des dizaines
et le chiffre des unités, la solution est alors apparue à beaucoup d’entre eux.
La mise en commun de l’exercice 5 fut un peu plus
chaotique, vu que peu d’élèves avaient abouti au système avec leur choix
d’inconnues. Je proposais donc d’envoyer un élève qui avait une solution juste
et surtout claire au tableau. A la question “ pourquoi choisir le temps comme
inconnue ? ” , l’élève répondit que la question du problème était “ combien de
temps a duré la montée ? ”. Enfin l’écriture de la formule vitesse temps = distance ne satisfit pas tous les
élèves.
pour les exercices de type B.
Quelques élèves ont fait apparaître sur leur brouillon des
représentations intermédiaires ( ébauche de tableau, correspondance avec des
flèches) mais aucun ne maîtrisait vraiment ces outils. Enfin je compris que
beaucoup d’élèves se sentaient démunis face à ses mises en équation et en
particulier avec le dernier exercice abordé. Beaucoup d’élèves ont abandonné et
n’écrivaient même plus sur leur brouillon. Il me fallait donc trouver une
solution pour leur permettre de résoudre ce genre de problème, ou du moins pour
leur permettre de faire un travail de recherche sur ce genre d’exercice qui
leur paraît inabordable.
Construction d’une séance d’enseignement
L’analyse de ces exercices montrent que les élèves se
lancent souvent dans l’écriture des équations sans avoir pris le temps
d’analyser les données et de lire l’énoncé en décortiquant au maximum les
informations. Ce qui entraîne souvent une compréhension insuffisante de
l’énoncé et un mauvais choix des inconnues. D’une façon générale, la
compréhension d’un énoncé de problème consiste dans l’identification des objets
que l’énoncé décrit et dans l’identification des relations qu’il établit entre
ces objets. Les objets à identifier sont des quantités inconnues ; attention,
ce ne sont pas ce qu’on appelle habituellement les inconnues et qu’on note en
général x et y. x et y sont appelés inconnues de base et les quantités
inconnues s’expriment en fonction de x et y. Les relations entre les objets
sont les relations qui permettent d’articuler les quantités inconnues qu’on
identifiera à une équation.
Comment apprendre aux élèves que comprendre un énoncé
consiste donc d’abord à identifier les
expressions linguistiques décrivant les quantités inconnues
puis celles décrivant les relations liant ces quantités inconnues.
Je me suis alors inspirée de la méthode proposée par Nicole
Cordier dans les Annales de didactique et de sciences cognitives et de la
méthode proposée par l’IREM de Strasbourg dans “ Problèmes de mise en équation(s) ”. Le but de cette deuxième
expérience sera de faire en sorte que les élèves s’approprient une procédure
pour interroger le texte de façon à :
- extraire toutes les informations possibles, relever les
données et les unités de ces données
- organiser ces informations selon une disposition qui
permettra d’écrire facilement la ou les équations.
Cela implique donc un classement des données de l’énoncé en
fonction des différentes dimensions dont elles relèvent. Il s’agit donc du
passage de l’énoncé à une présentation sous forme de tableau, mais sans leur
donner le tableau. L’intérêt est qu’ils apprennent à construire une grille de
questions pour lesquelles les réponses se croisent deux à deux. Cette procédure précède le choix des inconnues,
puisque c’est seulement après avoir classé les données de l’énoncé qu’on pourra
découvrir les quantités inconnues et surtout choisir les bonnes inconnues de
base.
La première expérience a permis de diviser les élèves en
deux groupes suivant leurs difficultés. Les résultats de la première expérience
sont résumés dans le tableau ci-dessous, en tenant compte uniquement des élèves
qui écrivent des équations correctes avec éventuellement des inconnues mal
définies, et des élèves qui n’ont pas traité l’exercice ou ont échoué pour
l’écriture des équations.
Dans l’annexe 3, les exercices 2 et 3 ont la forme de
l’exercice 1 et la construction du tableau se fait de la même manière que dans
l’exercice 1 qui sera donné en exemple. Seules les relations qui lient les
quantités inconnues diffèrent. Les exercices 4 à 6 sont différents au niveau de
la forme de l’énoncé. Dans les exercices 1 et 2, on n’obtient normalement
qu’une seule équation. Ils présentent tous les trois des relations cachées,
implicites, ce qui n’est pas le cas dans les exercices 1 à 3. Cette
particularité va augmenter la difficulté de ces exercices et notamment pour
construire le tableau.
Déroulement de la séance d’enseignement
Le début de la séance se passa comme prévu et une fois que
les élèves eurent pris connaissance des remarques et de l’énoncé de l’exercice
1, la procédure d’analyse du texte de l’énoncé a pu commencer. A la question “
quelles sont les données de l’exercice ? ”, les premières réponses étaient des
chiffres. Il a donc fallu faire prendre conscience aux élèves que chaque nombre
représentait quelque chose en particulier. Ainsi on a obtenu la liste suivante
:
13 kg/min et 21 kg/min Production
510 minutes Temps
238 kg Masse
A la question “ Quels sont les objets que l’on considère ? ”, la réponse fut immédiate : la première machine et la deuxième machine.
A la question “ Comment organiser les données ? ”, il était
naturel pour les élèves de répondre “ dans un tableau ”. A leur dictée, on a
obtenu le tableau suivant :
1 ère
machine 2 ème machine
Production (en kg/min)
Temps (en min )
Poids
(en kg).21
Cette première étape ne posa de problème à personne. La deuxième
étape demandait de placer les nombres dans le tableau. Très rapidement on plaça
13 kg/min et 21 kg/min, mais les nombres 510 et 238 posèrent problème. Nicolas
dit alors “ il manque une colonne dans votre tableau ! Il faut ajouter une
colonne total ! ”.
Valentine fit alors remarquer que la colonne total marchait
bien pour 510 minutes mais ne marchait pas pour 238 kg. Devant leur silence, je
proposais alors de faire une colonne notée “ relations ” où l’on inscrirait les
relations données par l’énoncé de l’exercice pour une même donnée. Le tableau
est alors devenu :
1 ère
machine 2 ème machine Relations
Production (en kg/min)
13 21
Aucune relation ne lie les deux productions
Temps ( en min ) 510 min en tout
Masse ( en kg) La 1 ère machine a produit 238 kg
de plus que la 2 ème
La recherche des quantités devient alors évidente pour
tous, les quatre cases vides correspondent alors
aux quatre quantités inconnues. Parmi ces quatre quantités
inconnues, lesquelles choisir pour inconnues de base ?
Ludovic
propose le temps des deux machines, “ pourquoi ? ” demande Eric. Ludovic répond
alors qu’on cherche le temps pendant lequel a fonctionné la première machine,
et qu’il était donc logique de mettre x et y dans les cases correspondant au
temps des deux machines.
Pour remplir les deux cases restantes, les élèves eurent
plus de mal. A la question “ Connaissez vous une relation entre la production,
le temps et la masse ? ”, il y eut un silence. Par contre à la question “ que
mettons nous dans les deux cases vides ? ”, certains ont su répondre, mais sans
expliquer pourquoi. La relation “ production temps = masse ” ne les aida pas
vraiment par contre lorsque j’écrivis “ kg/min ´min = kg ” tout s’éclaircit. Le
tableau complet devint donc :
1 ère
machine 2 ème machine Relations
Production (en kg/min)
13 21
Aucune relation ne lie les deux productions
Temps ( en min ) x y 510 min en
tout
Masse ( en kg)
13x 21y
La 1 ère machine a produit 238 kg de plus que la 2 ème Enfin il restait à lire la
2 ème et la 3
ème ligne du tableau pour
obtenir les deux équations. On obtenait :
y x
21y 238 13x
510.22
Analyse de la séance d’enseignement
L’exercice 2 ne posa aucun problème, il fut correctement
fait par tous les élèves. Beaucoup d’entre eux passèrent par le tableau et
furent souvent étonnés, surtout dans le premier groupe, de la réussite de leur
recherche. Des exemples de copies sur
l’exercice 2 sont présentées sur l’annexe 4. Comme pour l’exercice précédent,
le tableau de l’exercice 3 fut une réussite pour tous les élèves qui l’ont
tenté. Par contre la même erreur pour environ 6 ou 7 élèves fut faite lorsqu’il
a fallu traduire la phrase “ la fontaine a versé 15 l de plus que le robinet ”
( voir annexe 5 ). A ce niveau on peut déjà dire que le tableau n’apporte rien
aux élèves qui ont simplement un problème de transcription du langage habituel
vers le langage mathématique. Pour l’exercice 4, le premier problème rencontré
concernait la façon dont la mouche se déplaçait.
Certains m’avaient dessiné ce schéma : Ils pensaient que la
mouche se déplaçait en zigzag de gauche à droite de la route. Chose à laquelle
je ne m’attendais pas du tout. Il a donc fallu éclaircir le parcours de la
mouche au tableau.
Après cela, je m’attendais à ce que certains me disent “
puisque la mouche va trois fois plus vite qu’un cycliste, elle parcourt aussi
trois fois plus de distance ”. Et bien non, la relation vitesse /temps = distance reste
apparemment quelque chose de très compliquée pour eux. La construction d’un
tableau a apporté la solution à certains d’entre eux, mais pour la plupart, le
tableau a été difficile à remplir du fait que les relations permettaient de
remplir les cases manquantes directement et non d’écrire des équations.
Une des difficultés de cet exercice était de trouver la
relation implicite suivante : “ le temps pendant lequel les deux cyclistes
roulent est égal au temps pendant lequel la mouche vole ”. Ce petit coup de
pouce permit à beaucoup d’entre eux de conclure et la solution si évidente les
laissa perplexes ( voir annexe 6).
exercice 5, C’est un exercice difficile car il comporte
trois relations implicites :
- 98% du nouveau poids des
oranges
- Le poids de la matière sèche ne
change pas au bout des quelques jours
-
Le poids des oranges est égal au
poids de l’eau plus le poids de la matière sèche.
-
La première impression de beaucoup d’élèves face à cet
exercice était de dire qu’il était facile et que le tableau n’était pas
nécessaire. Beaucoup se lancèrent donc dans des calculs “ savants ” ! J’ai
alors pu constater deux mêmes erreurs .
Mathieu a, par exemple, écrit :
Poids de l’eau : 99% de
1000 g = 990 g
Mathieu prend simplement 98% de 99% de 1 kg. Il ne voit pas
que les 98% sont à prendre sur le nouveau poids des oranges et non sur le poids
de l’eau.
Et Patrick a écrit :
1 kg 99% d’eau
x kg 98% d’eau d’où x ´ 99 = 1 ´ 98 et x = 98 : 99 = 0,989 kg
Patrick a bien compris qu’on cherche le nouveau poids des
oranges et que les 98% étaient, en rapport
avec son inconnu x et non pas avec les 1 kg d’oranges. Malheureusement,
ses correspondances se transforment en tableau de proportionnalité, ce qui est,
bien sûr totalement faux. Après leur avoir montré leurs erreurs et après avoir
précisé à toute la classe qu’on prenait 98% du nouveau poids des oranges, des tableaux
apparaissaient tout doucement sur leur feuille. Voici un exemple : Poids de
l’eau Poids du reste Poids des oranges
? 990 g 10 g 1 kg
Tous restaient bloqués à ce niveau. A la demande générale,
on essaie de construire cette grille au tableau. Je reproduis donc la grille
avec des petites modifications approuvées par les élèves et posait une question
qui me semblait pertinente : “ en fonction de quoi le poids de l’eau ou des
oranges varie-t-il ? ”. Un élève répond : “ au bout de quelques jours ! ”.
Le tableau devient alors :
Poids de l’eau (en g) Poids de la
matière sèche ( en g )
Poids des oranges (en g)
Relations
Aujourd’hui 990 10 1000
Au bout de quelques jours
100
98 x
x
Un nouveau temps de recherche est accordé aux élèves pour
essayer de compléter le tableau. Pour la plupart, le fait que le poids de la
matière sèche n’a pas changé a été vu, mais la relation qui a permis d’écrire
une équation a demandé un petit coup de pouce.. Le tableau complet ressemble
donc à celui-ci :
Poids de l’eau (en g) Poids de
lamatière sèche (en g )
Poids des oranges (en g)
Relations
Aujourd’hui 990 10 1000
Au bout de quelques jours
100
98 x
10 x
Le poids des oranges
= poids de l’eau +
poids de la matière
sèche
L’équation
0,98x +10 = x a pour solution x = 500. Le poids des oranges est diminué de
moitié. Etonnement général de la classe ! “ C’est fou, jamais on aurait pensé
ça ! ” dirent certains. Et Ludovic ajouta même : “ moralité, il vaut mieux
acheter ses oranges au bout de quelques jours, elles seront moins lourdes donc
moins chères ! ”.
Le dernier exercice ne posa pas de problème. La notion de “
avant/après ” ayant été vu dans l’exercice précédent, le tableau a été très
rapide et la colonne “ relations ” a directement été écrite avec des équations
sans passer par le langage habituel ( voir annexe 7).
Exercice
1 ( type A1)
Au bar du coin, 2 cafés et 3 bières font 53 F ; 3 cafés et
2 bières font 49,5 F. Combien coûte le café ? Combien coûte la bière ?
Exercice
2 (type A1)
Une bouteille et son bouchon pèsent 110 grammes. La
bouteille pèse 100 grammes de plus que le bouchon. Quel est le poids du bouchon
?
Exercice
3 (type A2)
Un jeune lycéen, pour ce faire un peu d’argent de poche,
s’occupe de la vidange de voitures et de changements de carburateur de
scooters. La vidange d’une voiture lui demande 1h30 de travail et lui rapporte
125 F ; le changement d’un carburateur de scooter lui demande 45 minutes de
travail et lui rapporte 75 F. Calculer le nombre de vidanges de voitures et le
nombre de carburateurs changés par ce lycéen, sachant qu’il a travaillé 7h30 et
qu’il a gagné 675 F.
Exercice
4 (type B1)
Déterminez un nombre de deux chiffres, sachant que la somme
de ses deux chiffres est égale à 12 et que le nombre diminue de 18 quand on
permute ses deux chiffres.
Exercice
5 (type B1)
Un vélomoteur monte une colline à la vitesse de 15 m/s ;
puis il redescend de l’autre coté à la vitesse de 21 m/s. Le parcours a duré
270 s et la montée est de 126 m plus longue que la descente. Combien de temps a
duré la montée ?
Exercice
6 (type B2)
Un marchand possède 1 kg d’oranges qui est constitué de 99
% d’eau. Au bout de quelques jours, les oranges ne contiennent plus que 98 %
d’eau. Quel est alors le poids des oranges ?
ANNEXE 2 : MODULE 8.
vous devez procéder à une analyse du texte de l’énoncé. Le
choix des inconnues ne se fait pas à l’aveuglette et immédiatement, il faut
d’abord avoir étudié et distingué les quantités inconnues, les inconnues de
base, les égalités entre les différentes inconnues. Bref, face à un énoncé,
vous allez essayer de faire un tri organisé de toutes les données en suivant le
plan ci-dessous :
1) Ecrire toutes les données de l’énoncé en vrac puis
classer des informations dans un tableau
2) Trier des informations chiffrées, c’est à dire placer
les chiffres que vous pouvez dans le tableau
3) Prendre conscience des quantités inconnues et choisir
deux inconnues de base ( il faut souvent se référer à la question posée à la
fin de l’exercice)
4) Ecrire la ou les équations en s’aidant des lignes et des
colonnes du tableau
Exercice
1
Dans une usine, on fabrique du chocolat. Une première
machine produit 13kg de chocolat par minute. Au bout d’un certain temps, elle est remplacée par une deuxième machine
qui produit 21kg de chocolat par minute. La fabrication dure 510 minutes en
tout. La première machine a produit 238 kg de plus que la deuxième. Combien de
temps a fonctionné la première machine ?
Exercice
2
Un bassin de 200 litres est alimenté par un premier robinet
qui verse 40 litres par heure. On arrête ce robinet eton le remplace par une
fontaine qui verse 30 litres par heure. Il a fallu 6 heures pour remplir le
bassin. Pendant combien de temps le robinet a t-il coulé ?
Exercice
3
Un bassin est alimenté par un premier robinet qui a un
débit de 45 litres par heure. On arrête ce robinet et on le remplace par une
fontaine qui a un débit de 35 litres par heure. Il a fallu 5 heures pour
remplir ce bassin et la fontaine a versé 15 litres de plus que le robinet.
Pendant combien de temps le robinet a t-il coulé ?
Exercice 4
Deux cyclistes démarrent aux extrémités d’une ruelle de 200
m de long et roulent tous deux à la vitesse de 10 m/s. Une mouche fait des
allers-retours d’un cycliste à l’autre en effectuant des vols bien rectilignes
jusqu’à ce que les deux cyclistes se
croisent. La mouche va 3 fois plus vite que les cyclistes. Quelle distance a
parcouru la mouche ?
Exercice 5
Un marchand possède 1 kg d’oranges qui est constitué de 99
% d’eau. Au bout de quelques jours, les oranges ne contiennent plus que 98 %
d’eau. Quel est alors le poids des oranges ?
Exercice
6
Au début de la classe, il y a deux fois plus de garçons que
de filles. Six garçons quittent la classe et six filles arrivent, il y a alors
deux fois plus de filles que de garçons. Combien de garçons y avait-il au début
?.